sexta-feira, 19 de setembro de 2014

Matemática Financeira - Juros Compostos, Taxas, Fórmulas e Descontos

I - Introdução 

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II - Juros Compostos 

  1. Montante 
1.1. Definição M = Capital + Juros 
1.2. Notação  C, i, n, S 
1.3. Fórmula S = C (1 + i)n 
  1. Juro 
2.1. Definição  Juro = M - Capital 
2.2. Fórmula   J = C (1 + i)n - C   
  1. Períodos não-inteiros 
3.1. Convenção linear èadota-se juros simples nqquela fração 
Sn,p/q = C (1 + i)n (1 + i.p/q) 
3.2. Convenção exponencial èjuros compostos, n èfracionário 

III - Taxas de Juros 

  1. Taxa Simples ou Linear è juros simples 
  2. Taxa Composta ou Exponencial è juros compostos 
  3. Taxas Proporcionais èregra de três simples 
  4. Taxa Nominal èduas unidades de tempo distintasnunca se comparam taxas nominais 
  5. Taxa Efetiva èunidade de tempo coincide com capitalização 
  6. Taxas Equivalentes unidades de tempo distintasmesmo montante 
iq = (1 + it)q/t - 1 
Taxa Nominal èna proporção èTaxa Efetiva ç|iq = (1 + it)q/t - 1| çTaxa Equivalente 
  1. Taxa Aparente ètaxa de mercado englobando taxa de inflação e juro real 
  2. Taxa Real èDeflacionado, taxa de juro incide capital corrigido monetariamente 
EQUAÇAO DE FISCHER  (1 + i) + (1 + j) (1 + r) 
Aparente     Inflação         Real 
  1. Taxa Over è taxa nominal, expresssa ao mês por dia útil; taxa efetiva dividindo-se por 30 
Ex: tx 36% a.m.d.u ètx efetiva 1,2% 
       mês 22 dias è i = (1,01222 - 1) x 100 = 1,222 30,01%a.m. 
  1. Taxa Bruta èantes do IR 
  2. Taxa Líquida èapós a retenção IR 
Ex: CDB 33 dias base 55% a.a. (taxa efetiva aparente) 
       IR de 10%, quais as taxas aparente bruta e líquida? 
       - tx efetiva aparente bruta è ib = {(1 + ,55)33/360 - 1 ] x 100 = 4,10% 
       - tx efetiva aparente líquida èiL = 4,10% - 10% x 4,10% 
   ou iL = 0,9 x 4,10% èiL = 3,69% 
  1. Taxa Antecipada ètaxa de desconto simples comercial ou bancário 
    1. Valor Atual do título Vatual = N (1 - id.n), onde itaxa antecipada (aparente ou nominal) 
    2. Taxa efetiva de desconto 
    x taxa antecipada (aparente ou nominal) de desconto 
    N = Vatual (1 + ie.n)   ie = id / 1 - id    |   id = ie / 1 + ie, onde ie é a taxa efetiva de desconto 
    Ex: Se tx antecipada de desconto é 7,5% a.m., a taxa efetiva de desconto é 
    ie% = 7,5 / 100 - 7,5 = 8,108%a.m. 

IV - Desconto 
(ver também Fórmulas Gerais \ Matemática Financeira) 

  1. Descontos Simples Comercial (ou por fora) 
1.1. Definição: valor do juro simples sobre o valor nominal em 'n' 
1.2. Notação: N, n, id, Dc, Vc (valor atual ou presente) 
1.3. Fórmulas: Dc = N.id.n 
                           Vc = N - Dc èVc = N (1 - id.n) 
Ex: Título de R$10.000,00 a ser regatado em 120 dias ~ 4 meses 
taxa de desconto de 10%a.m. 
Dc = 10000 x 0,10 x 4 = 4000 
Vc = N - Dc èVc = 10000 - 4000 = 6000 $ 
  1. Desconto Composto Racional (ou por dentro) 
2.1. DefiniçãoObtido da diferença entre valor nominal e valor atualsaldado em 'n' períodos antes do vencimentocalculado sobre VALOR ATUAL à Tx Desconto 
2.2. Notação: N (valor nominal), n, iDr (desc.composto racional)Vr (valor atual, valor presente, valor desc.) 
2.3. Fórmulas: N = Vr (1 + i)n ou Vr = N (1 + i)-n 
     Dr = N - Vr ou Dr = N [1 - (1 + i)-n] 
2.4. Facilidades da HP12C 
FV - valor nominal 
PV - valor descontado 
2.5. Exemplos 
  1. Título $10000, tx desc 2%a.m., saldado em 6 meses antes, calcule desconto racional e quantia desembolsada 
Vr = 10000 (1 + 0,02)-6 = $8879,71 
Dr =  10000 (1 - (1 + 0,02)-6] = $1120,29 
  1. Qual o valor nominal descontado racionamentetx 7%a.m., 100 dias antes, se transformou em $1995,23? 
N = Vr (1 + i)n èN = 1995,23 (1 + 0,07)100/30 = $2500 

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